函数的概念与表示
第一部分：函数的引入
生活中的函数关系
- 温度与时间：一天中气温随时间的变化
- 身高与年龄：儿童成长过程中身高与年龄的关系
- 路程与时间：匀速运动中路程与时间的关系
什么是函数？
函数描述了两个变量之间的依赖关系
对于一个输入（自变量），有唯一确定的输出（因变量）
第二部分：函数的定义
数学定义
设 $A$、$B$ 是两个非空数集，如果存在某种对应法则 $f$，使得对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 与之对应，那么就称 $f: A \to B$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数。
记法
- $y = f(x)$
- $x$ 称为自变量
- $y$ 称为因变量
- $f$ 称为对应法则
函数的三要素
- 定义域：自变量 $x$ 的取值范围
- 值域：函数值 $y$ 的取值范围
- 对应法则：从 $x$ 到 $y$ 的对应规则
第三部分：函数的表示方法
1. 解析法
用数学表达式表示函数关系
例子：
- $y = 2x + 1$（一次函数）
- $y = x^2$（二次函数）
- $y = \frac{1}{x}$（反比例函数）
2. 列表法
用表格表示函数的对应关系
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 3 | 5 | 7 | 9 |
3. 图像法
用图像表示函数关系
一次函数 $y = 2x + 1$ 的图像：
- 是一条直线
- 斜率为 2
- y轴截距为 1
第四部分：函数的性质
单调性
- 增函数：自变量增大，函数值也增大
- 减函数：自变量增大，函数值反而减小
奇偶性
- 奇函数：$f(-x) = -f(x)$，图像关于原点对称
- 偶函数：$f(-x) = f(x)$，图像关于y轴对称
周期性
如果存在正数 $T$，使得 $f(x+T) = f(x)$ 对定义域内任意 $x$ 都成立，那么函数 $f(x)$ 称为周期函数，$T$ 称为周期。
第五部分：常见函数类型
1. 一次函数
$y = kx + b$（$k \neq 0$）
- 图像：直线
- 性质：当 $k > 0$ 时增函数，$k < 0$ 时减函数
2. 二次函数
$y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）
- 图像：抛物线
- 性质：有最大值或最小值
3. 反比例函数
$y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$）
- 图像：双曲线
- 性质：分布在两个象限
第六部分：函数的应用
实际问题建模
- 收费问题：出租车计价、水电费计算
- 运动问题：物体运动轨迹、速度变化
- 经济问题：成本收益、利润计算
解题步骤
- 理解题意：明确已知条件和所求问题
- 建立模型：设变量，找函数关系
- 求解问题：利用函数性质求解
- 检验答案：检查是否符合实际意义
第七部分：课堂练习
基础练习
判断下列关系是否为函数：
- $y = x^2$（是）
- $x = y^2$（不是）
- $y = \pm\sqrt{x}$（不是）
求函数 $y = 2x - 1$ 在 $x = 3$ 时的函数值
提高练习
- 已知 $f(x) = 3x - 2$，求 $f(f(2))$
- 某商品进价为 20 元，售价为 30 元，每天销售 $x$ 件，利润函数为 $L(x) = 10x$
- 一块矩形土地，周长为 40 米，设长为 $x$ 米，面积为 $S$ 平方米，求 $S$ 关于 $x$ 的函数关系
第八部分：总结与展望
今天我们学习了
- 函数的概念和定义
- 函数的三种表示方法
- 函数的基本性质
- 常见函数类型
- 函数的实际应用
下次课程预告
- 函数图像的绘制
- 函数与方程的关系
- 函数的综合应用
思考题
- 生活中还有哪些函数关系的例子？
- 为什么说函数是数学的重要概念？
- 如何判断一个关系是否为函数？
作业：
- 课本 P45 练习题 1-5
- 预习下一节内容
- 寻找生活中的3个函数例子